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title: 【概率论】3-7:多变量分布(Multivariate Distributions Part I）

categories:

• Mathematic
• Probability
  keywords:
• Joint Distributions
• 联合分布
• Mixed Distributions
• 混合分布
• Marginal Distributions
• 边缘分布
• Independent Random Variable
• 独立随机变量
  toc: true
  date: 2018-03-14 09:55:14

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Abstract: 本文将3.4，3.5，3.6的内容扩展到多个随机变量中去，并得到相对应的结论，由于内容较多，故分为两部分完成

Keywords: Joint Distributions,Mixed Distributions,Marginal Distributions,Independent Random Variable

开篇废话

今天讲的废话可能真是废话，因为这个道理真是自古以来经过无数次的验证，关于合作，合作就是多个人在一起做一件事，有钱出钱有力出力，所有的想法，工作和信息都要共享。这是一个团队存在的必要条件，但是有两种东西千万别想着与团队内部人员分享，首先是别人的收益，你不能指望别人把收益分给你，这个不现实也不讲道理的，说好是谁的就是谁的，不能拿别人的任何收益，这是保证团队不崩溃的底线；第二不要让别人跟你分担风险，你的风险就是你的风险，你出资赔钱你就要忍着，不可能让别人补偿你，这是不符合规矩的，别人也没这个义务，甚至别人主动补偿都不能要；最后一点就在于沟通，有些话说了必须负责任，任何事给出预期，同时必须提示风险，别总拍着胸脯保证什么什么，尤其是没有发生的事，这样的结果就是，一旦负面情况发生，你的责任就会非常大了，而且大家会对你这个产生怀疑！

接着就是正经的废话了，关于概率论，我这两天尝试着看数理统计方面的书，发现，难度有点提升的过快，尤其是概率论掌握的不是很熟练的时候，我的概率论现在什么水平？看了一遍书，写了下书后的习题，目前也就这样，但是写完博客会是一个很大的提升，整个思路和认知都会有所提升，所以我决定先把概率论的博客写完再继续数理统计，到时候应该能通常一点了

本文是对前三节内容的扩展，我们学习概率论从试验，到事件再到随机变量，从概率，到概率分布，都是从简单的可见的，到复杂的抽象的，这篇就把前面的限制进一步减小，从单个随机变量到两个随机变量，再到今天的多个随机变量的过程

Joint Distributions

当一个分布中随机变量的个数超过两个的时候，我们称之为多变量概率分布；在实际应用中多变量随机分布应用更广。

Joint Discrete Distribution

Definition Joint Distribution Function/c.d.f.:The joint c.d.f. of $n$ random variables X1,…,XnX_1,\dots ,X_nX1​,…,Xn​ is the function $F$ whose value at every point (x1,…,xn)(x_1,\dots ,x_n)(x1​,…,xn​) in n-dimensional space Rn\mathbb{R}^nRn is specified by the relation

F(x1,…,xn)=Pr(X1≤x1,X2≤x2,…Xn≤xn) F(x_1,\dots , x_n)=Pr(X_1\leq x_1,X_2\leq x_2,\dots X_n\leq x_n) F(x1​,…,xn​)=Pr(X1​≤x1​,X2​≤x2​,…Xn​≤xn​)

多变量c.d.f.和前面单变量双变量c.d.f有相似的性质

举个? ：

假设某设备有三个部件，其中部件 $i$ 有可能在 XiX_iXi​ 时刻失效，$i$ 可能是1，2，3，那么 X1,X2,X3X_1,X_2,X_3X1​,X2​,X3​ 的联合 c.d.f. 是

F(x1,x2,x3)={(1−ex1)(1−e−2x2)(1−e−3x3) for x1,x2,x3≥00otherwise F(x_1,x_2,x_3)=\begin{cases}(1-e^{x_1})(1-e^{-2x_2})(1-e^{-3x_3})&\text{ for }x_1,x_2,x_3\geq 0\\ 0&\text{otherwise} \end{cases} F(x1​,x2​,x3​)={

(1−ex1​)(1−e−2x2​)(1−e−3x3​)0​ for x1​,x2​,x3​≥0otherwise​

使用向量记录多个随机变量，像这样： X⃗=(x1,…,xn)\vec{X}=(x_1,\dots ,x_n)X=(x1​,…,xn​) 称为随机向量，对于一个多变量的c.d.f. F(x1,x2,x3)F(x_1,x_2,x_3)F(x1​,x2​,x3​) 我们可以简写成：F(X⃗)F(\vec{X})F(X)

这里需要注意的是当我们用向量来管理多个变量的时候，注意其维度，这时的c.d.f被定义在一个 Rn\mathbb{R}^nRn 的空间上。

Definition Joint Discrete Distribution/p.f. It is said that $n$ random variables X1,…,XnX_1,\dots ,X_nX1​,…,Xn​ have a discrete joint distribution if the random vector (X1,…,Xn)(X_1,\dots ,X_n)(X1​,…,Xn​) can have only a finite number or an infinite sequence of different possible values (x1,…,xn)(x_1,\dots,x_n)(x1​,…,xn​) in Rn\mathbb{R}^nRn .The joint p.f. of X1,…,XnX_1,\dots,X_nX1​,…,Xn​ is then defined as the function $f$ such that for every point (x1,…,xn)∈Rn(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb{R}^n(x1​,…,xn​)∈Rn

f(x1,…,xn)=Pr(X1=x1,…,Xn=xn) f(x_1,\dots,x_n)=Pr(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n) f(x1​,…,xn​)=Pr(X1​=x1​,…,Xn​=xn​)

这个定义说明，随机向量 X⃗\vec{X}X 有一个离散分布，其每个点 x⃗∈Rn\vec{x} \in \mathbb{R}^nx∈Rn 的概率是

f(x⃗)=Pr(X⃗=x⃗) f(\vec{x})=Pr(\vec{X}=\vec{x}) f(x)=Pr(X=x)

下面这个定理和中双变量分布相似

Theorem If $X$ has a joint discrete distribution with joint p.f. $f$ then for every subset C⊂RnC\subset \mathbb{R}^nC⊂Rn ,

Pr(X⃗∈C)=∑x∈Cf(x) Pr(\vec{X}\in C)=\sum_{x\in C}f(x) Pr(X∈C)=x∈C∑​f(x)

如果每个随机变量X1,…,XnX_1,\dots,X_nX1​,…,Xn​ 每个随机变量都有离散的分布，那么 X⃗=(X1,…,Xn)\vec{X}=(X_1,\dots,X_n)X=(X1​,…,Xn​) 就有一个离散的联合分布

Joint Continuous Distribution

Definition Continuous Distribution/p.d.f. It is said that $n$ random variables X1,…,XnX_1,\dots,X_nX1​,…,Xn​ have a continuous joint distribution if there is a nonnegative function $f$ defined on Rn\mathbb{R}^nRn such that for every subset C⊂RnC\subset \mathbb{R}^nC⊂Rn,

Pr[(X1,…,Xn)∈C]=∫​⋯∫⎵Cf(x1,…,xn)dx1,…,dxn Pr[(X_1,\dots,X_n)\in C ]=\underbrace{\int\dots\int}_{C}f(x_1,\dots,x_n)dx_1,\dots,dx_n Pr[(X1​,…,Xn​)∈C]=C∫⋯∫​​f(x1​,…,xn​)dx1​,…,dxn​

上面的定义也可以用向量来重新表示，向量表示更加简单，但是使用时要注意区分：

Pr[X⃗∈C]=∫​⋯∫⎵Cf(x⃗)dx⃗ Pr[\vec{X}\in C ]=\underbrace{\int\dots\int}_{C}f(\vec{x})d\vec{x} Pr[X∈C]=C∫⋯∫​​f(x)dx

Theorem If the joint distribution of X1,…,XnX_1,\dots,X_nX1​,…,Xn​ is continuous,then the joint p.d.f. $f$ can be derived from the joint c.d.f. $F$ by using the relation

f(x1,…,xn)=∂nF(x1,…,xn)∂x1…∂xn f(x_1,\dots,x_n)=\frac{\partial^nF(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_1\dots \partial x_n} f(x1​,…,xn​)=∂x1​…∂xn​∂nF(x1​,…,xn​)​

at all points (x1,…,xn)(x_1,\dots,x_n)(x1​,…,xn​) at which the derivative in this relation exists.

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